ELIPS

A. Definisi Elips
    Elips adalah himpunan semua titik dimana jumlah jarak tiap titik terhadap dua titik tertentu yang bukan elemen himpunan tersebut adalah tetap.
Dua titik tertentu itu disebut titik fokus atau titik api (F1 dan F2). Jumlah jarak tetap = 2a (a>0) dan jarak F1 dan F2 adalah 𝐹1𝐹2  = 2c

B. Melukis Elips

CATATAN:
jika direktriks d₁ disebelah kiri V₂ dan berjarak dua satuan, maka fokus F₁ pada FT dengan : V₂F₁/V₂T₁ = 1/2 maka akan menghasilkan ellips. Jadi setiap ellips memiliki dua fokus dan dua direktriks.

Langkah-langkah melukis ellips (perhatikan Gambar 2) 
1.      Buat garis TT₁ yang tegak lurus dengan d₁ dan d₂. 
2.    Tentukan titik V₁ dan V₂ pada garis TT₁, sedemikian sehingga :V₁F  /V₁T = 1/2 dan  V₂F₁           /V₂T₁ = 1/2. Jadi titik V₁ dan V₂ pada ellips. 
3.    Buatlah gais-garis g₁, g_2, g_3, g_4, dan g₅ masing-masing sejajar d dan memotong garis FT berturut- turut pada A=F, B, C, D, dan E= F₁. 
4.      Buatlah lingkaran (F, 1/2 AT) sehingga memotong g₁ di A₁ dan A_2. Jadi A₁F/A₁T =A₂F/A₂T = 1/2 . Maka titik A₁ dan A_2.terletak pada ellips. 
5.      Buatlah lingkaran (F, 1/2 BT) sehingga memotong g₁ di B₁ dan B_2. Jadi B₁F/B₁T =B₂F/B₂T = 1/2 . Maka titik B₁ dan B_2.terletak pada ellips. 
6.      Lakukan langkah 4 dan 5 sehingga diperoleh titik-titik C₁, C_2, D_1, D_2, E₁ dan E₂ yang semuanya terletak pada ellips. 
7.      Hubungkan titik-titik yang diperoleh dari langkah 2, langkah 4, langkah 5 dan langkah 6 sehingga akan diperoleh lengkungan tertutup yang disebut dengan ellips (dengan e =1/2 ).

C. Persamaan Elips
a.  Berpusat di O(0,0)

b. Berpusat di M(p,q)

Contoh:

D. Persamaan Umum Elips
Persamaan elips memiliki bentuk umum:  Ax2 + By2 +Cx + Dy + E = 0 Dengan A, B, C, D, dan E ∈ R, A≠0, B≠0, Tanda A dan B sama, yang diperoleh dari persamaan elips.

D. Persamaan Garis Singgung Elips
a. Hubungan Garis dan Elips
Kedudukan garis terhadap Elips ada 3 kemungkinan, yaitu:

1. Gambar (a) → Garis memotong 2 titik di elips
2. Gambar (b) → Garis memotong 1 titik di elips
3. Gambar (c) → Garis tidak memotong elips  

Cara menentukan hubungan garis dengan elips:
Misal: 
Garis:  y = ax + b    …….  (1)
Elips:   Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0   ..…… (2)
Subtitusi (1) ke (2) →  P.K baru
Misal P.K Baru : ax2 + bx + c = 0  →  D = b2 – 4.a.c dapat dinyatakan:
1. D < 0 →  Garis tidak memotong Elips
2. D = 0 → Garis memotong  1 titik di Elips
3. D > 0  → Garis memotong 2 titik di Elips 

b. Menentukan P.G.S  pada Elips di suatu Titik pada Elips

c. Menentukan P.G.S pada elips dengan gradien tertentu

Sumber: http://antasari21.blogspot.com/2017/04/bab-iii-elips-parabola-hiperbola.html?m=1

Aplikasi Hiperbola dalam Kehidupan Sehari-hari

 Hiperbola

         Permasalahan yang melibatkan fokus suatu hiperbola banyak kita jumpai di berbagai bidang. Seperti permasalahan fokus pada elips, hanya beberapa informasi hiperbola yang nantinya akan diketahui. Untuk itu, kita harus memanipulasi persamaan hiperbola yang diberikan atau bahkan membangun persamaan hiperbola dari suatu informasi tertentu untuk menentukan selesaian yang diberikan.

Menerapkan Karakteristik Hiperbola—Lintasan dari Suatu Komet

        Komet-komet yang memiliki kecepatan yang sangat tinggi tidak dapat dipengaruhi oleh gravitasi matahari, dan akan mengitari matahari dengan lintasan berbentuk hiperbola dengan matahari sebagai salah satu titik fokusnya. Jika lintasan komet yang diilustrasikan oleh gambar di bawah dapat dimodelkan oleh persamaan 2.116x² – 400y² = 846.400, seberapa dekatkah komet tersebut dengan matahari? Anggap satuannya dalam jutaan mil.

Pembahasan Pada dasarnya, dalam permasalahan ini kita diminta untuk menentukan jarak antara fokus dengan titik puncak hiperbola. Dengan menuliskan persamaan yang diberikan ke dalam bentuk standar,

Sehingga, kita peroleh p = 20 (p² = 400) dan q = 46 (q² = 2.116). Dengan menggunakan persamaan fokus untuk menentukan f dan f², kita mendapatkan,

Karena p = 20 dan |f| = 50, jarak komet tersebut dengan matahari adalah 50 – 20 = 30 juta mil atau sekitar 4,83 × 10⁷ kilometer.

Sumber : https://yos3prens.wordpress.com/2014/01/29/5-soal-dan-pembahasan-permasalahan-fokus-suatu-hiperbola/

Sejarah Geometri Analitik

Assalamuaialaikum Wr. Wb.

    Bagaimana kabar teman2 semua? Semoga baik-baik saja ya, Aamiin....... kalau saya sendiri sih Alhamdulillah baik:) hihihi padahal tidak ada yang bertanya...

Ok, pada postingan kali ini saya akan membahas tentang Sejarah Geometri Analitik. temen mungkin ada yang tahu asal usul dari geometri analitik? ayo yang tahu mengacungkan tangan hehe.....

      Langsung saja ya teman2, Geometri (Greek; geo= bumi, metria= ukuran) adalah sebagian dari matematika yang mengambil persoalan mengenai ukuran, bentuk, dan kedudukan serta sifat ruang. Geometri adalah salah satu dari ilmu yang tertua. Awal mulanya sebuah badan pengetahuan praktikal yang mengambil berat dengan jarak, luas dan volume, tetapi pada abad ke-3 geometri mengalami kemajuan yaitu tentang bentuk aksiometik oleh Euclid, yang hasilnya berpengaruh untuk beberapa abad berikutnya. 

      Geometri merupakan salah satu cabang dalam ilmu matematika. Ilmu Geometri secara harfiah berarti pengukuran tentang bumi, yakni ilmu yang mempelajari hubungan di dalam ruang. Sejatinya, ilmu geometri sudah dipelajari peradaban  Mesir Kuno, masyarakat Lembah Sungai Indus dan Babilonia. Peradaban-peradaban kuno ini diketahui memiliki keahlian dalam drainase rawa, irigasi, pengendalian banjir dan pendirian bangunan-bagunan besar. Kebanyakan geometri Mesir kuno dan Babilonia terbatas hanya pada perhitungan panjang segmen-segmen garis, luas, dan volume. 

    Geometri Analitik, juga disebut geometri koordinat dan dahulu disebut geometri Kartesius, adalah pembahasan geometri menggunakan prinsip-prinsip aljabar menggunakan bilangan riil. Biasanya, sistem koordinat Kartesius diterapkan untuk menyelesaikan persamaan bidang, garis, garis lurus, dan persegi, yang sering dalam pengukuran 2 atau 3 dimensi. Seperti yang diajarkan di buku pelajaran sekolah, geometri analitis dapat dijelaskan dengan sederhana: terfokus pada pendefinisian bentuk bangun dalam bilangan dan menjadikan sebagai sebuah hasil perhitungan. Hasil perhitungan dapat diasumsikan sebagai sebuah vektor atau bangun. Bagaimanapun juga beberapa output numerik juga membentuk vektor. Ada anggapan bahwa lahirnya geometri analitis adalah permulaan matematika modern. 

       Geometri Analitik merupakan kombinasi antara aljabar dan geometri. Dengan membuat korespondensi antara persamaan matematika secara aljabar dengan tempat kedudukan secara geometrik diperoleh suatu metoda pemecahan masalah geometri yang lebih sistematik dan lebih tegas. Masalah-masalah geometri akan diselesaikan secara aljabar (atau secara analitik). Sebaliknya gambar geometri sering memberikan pemahaman yang lebih jelas pada pengertian hasil secara aljabar. Dalam hal ini juga memungkinkan menyelesaikan masalah aljabar secara geometri, tetapi model bentuk geometri jauh lebih penting daripada sekedar penyelesaian, khususnya jika bilangan dikaitkan dengan konsep pokok geometri. 

     Sebagai contoh, panjang suatu segmen garis atau sudut antara dua garis. Jika garis dan titik secara geometrik diketahui, maka bilangan yang menyatakan panjang ataubesar sudut antara dua garis pada hakekatnya hanyalah nilai pendekatan dari suatu pengukuran. Tetapi metoda aljabar memandang bilangan itu sebagai perhitungan yang eksak (bukan pendekatan).  

      Geometri Analitis (Analytic Geometry) adalah penyederhanaan dari permasalahan dalam pelajaran geometri yang diselesaikan dengan bantuan al jabar.Di sini banyak di bicarakan masalah-masalah geometri secara sederhana, sehingga mempermudah kita untuk mempelajarinya. Dengan memakai geometri analitik pula kita membahas berbagai kemungkinan dari penafsiran geometri, dengan mempergunakan persamaan-persamaan al jabar. 

        Rene Descartes seorang ahli matematika yang hidup di tahun 1596 sampai dengan tahun 1650, adalah orang yang pertama kali membuat pendahuluan teori al jabar dalam pelajaran geometri. Beliau memperkenalkan metoda barunya secara terus menerus, sehingga lahirlah buku yang berjudul “La Geometrie” yang ditulis pada tahun 1637. Geometri analitik ini kadang-kadang disebut juga geometri cartesian, hal ini untuk mengingatkan kita dan sekaligus sebagai penghormatan kepada beliau sebagai orang pertama yang memperkenalkan konsep geometri analitik. 

     Geometri analitik pada dasarnya terbagi menjadi dua bagian besar, yaitu Geometri Analitik Bidang dan Geometri Analitik Ruang. Kedua bagian ini satu sama lainnya saling berhubungan erat tidak bisa dipisah-pisahkan. 

     Bagaimana? sekarang teman2 sudah tahu kan... sejarah dari geometri analitik. Demikian penjelasannya saya. Wassalamu'alaikum Wr.Wb.

Menentukan Koordinat Tabung dan Koordinat Bola

Asslamamu'alaikum Wr. Wb.

          Yeyeye..... balik lagi bersama saya Aam, pada postingan kedua ini saya akan membahas soal beserta penyelesain untuk menentukan koordinat tabung dan koordinat bola.

Soal yang pertama...

 Penyelesaian :

        Untuk soal yang pertama ini kita kerjakan dalam bentuk koordinat terlebih dahulu ya.:)

 Sebagai berikut :

                     

       Setelah titik koordinat di temukan kemudian kita masukkan titik yang sudah diperoleh ke koordinat menggunakan Geogebra seperti pada postingan saya yang sebelumnya.

Gambarnya seperti dibawah ini ya....

             
 Hore finish... Beralih pada soal yang kedua
   
 Penyelesaian:
          Dari soal yang kedua ini cara mengerjakannya sama seperti soal yang pertama yaitu mencari koordinat kartesius terlebih dahulu.
                    
        Setelah itu masukkan titik yang diperoleh ke koordinat menggunakan Geogebra. Jrengjeng jadilah gambar seperti dibawah ini:).
             
     
           Demikian soal beserta pembahasan untuk menentukan koordinat tabung dan koordinat bola dari saya....... kritik dan saran ditungga ya teman-teman.
Wassalamu'alaikum Wr. Wb.